Modelos matemáticos podem ser úteis em todas as fases da Engenharia Química, desde a pesquisa e desenvolvimento até a operação da planta, sendo de grande importância para a compreensão do processo e visualização da relação causa-efeito (Secchi, 1995).

Pesquisa e desenvolvimento: determinação de mecanismos cinéticos e parâmetros a partir dos dados de reação em laboratório e em planta piloto; exploração dos efeitos de diferentes condições de operação para estudos de otimização; auxílio nos cálculos de scale-up.

 Projeto: exploração do dimensionamento e arranjo de equipamentos de processo para desempenho dinâmico; estudo das interações de várias partes do processo; cálculo de estratégias alternativas de controle; simulação da partida, parada, situações e procedimentos de emergência.

Operação da planta: reconciliador de problemas de controle e processamento; partida da planta e treinamento de operadores; estudos de requerimentos e efeitos de projetos de expansão (remoção de gargalos do processo); otimização da operação da planta.

É usualmente muito mais barato, seguro e rápido conduzir os tipos de estudos listados acima sobre um modelo matemático do que realizar testes experimentais na unidade em operação. Isto não quer dizer que não se necessita de testes na planta, pois eles são partes vitais na confirmação da validade do modelo.

 A fluidodinâmica computacional e métodos avançados de modelagem de processos, em conjunto, podem ser usados para otimizar processos industriais. Muitas unidades industriais são complexas e envolvem diferentes fenômenos que devem ser considerados simultaneamente durante um projeto de engenharia. Isto pode ser possível a partir de um modelo preditivo detalhado destas unidades. Por exemplo, um reator multitubular catalítico de leito fixo em um processo de produção de tereftaldeído pôde ser otimizado a partir de um pacote CFD para modelar a fluidodinâmica no lado do casco, e uma ferramenta avançada de modelagem e simulação de processos para modelar as reações químicas catalíticas e fenômenos relacionados no lado do tubo. Estes modelos foram executados simultaneamente; cada modelo calculando as principais informações de entrada para o outro programa. Com este modelo híbrido de alta precisão foi possível considerar vários fenômenos em microescala no lado do tubo, como reação química, adsorção, transferência de calor e de massa nos leitos catalíticos (incluindo difusão intrapartícula e reação), resistência da transferência de calor na fronteira parede-leito; e mecanismos do fluido em macroescala no lado do casco, como a distribuição de fluxo do refrigerante e transferência de calor em geometrias complicadas, tudo isso, ao mesmo tempo. A otimização do reator resultou no melhoramento da eficiência de transferência de calor, que levou a um desempenho uniforme em todos os tubos do reator, forneceu maior controlabilidade, flexibilidade operacional e vida mais longa do catalisador. Foi também mais rentável em termos de investimento do capital inicial e custo operacional.

O balanço do momento é utilizado em sistemas mecânicos e em sistemas de escoamento onde várias forças atuam. Estas forças podem ser de pressão, viscosas, cisalhantes e gravitacionais.

Q5.4. What are dimensionless variables? Why is the concept important? (Section 5.8)

São variáveis normalizadas que não possuem unidades e estão numa faixa padrão, geralmente de zero a um. A adimensionalização é importante porque evita problemas devido à diferença de quantidades físico-químicas ou parâmetros medidos em diferentes unidades de engenharia, tem um papel relevante na correlação de dados experimentais, além de fornecerem modelos genéricos.

Q5.5. What is the aim of normalizing conservation balance equations? (Section 5.8)

O objetivo das equações de conservação normalizadas é obter equações genéricas que evitem problemas com relação ao sistema de unidades e facilitem na obtenção de alguns parâmetros destas equações.  

Q5.7. What are the advantages and disadvantages of writing conservation balances in intensive variable form? (Section 5.7)

Vantagens: facilidade de visualização e compreensão dos resultados;

Desvantagem: Balanços na forma intensiva podem ser mais complexos tanto do ponto de vista de desenvolvimento como da perspectiva de solução.

Q5.9. Why is the index of a DAE system important and how can it be assessed? What factors give rise to high-index problems? (Section 5.11.2)

Através do índice diferencial podem-se determinar os tipos de métodos numéricos a serem aplicados na solução do sistema de equações. Ele é definido como o menor número de diferenciações do sistema de EAD’s ou de parte dele, necessário para transformá-lo em um sistema de EDO’s. São três os fatores principais que levam a problemas de índice superior: escolha de variáveis de projeto ou variáveis a se especificar, uso de equações forçadas ou equações extras e questões da modelagem. Um arquivo a respeito da teoria de Equações algébrico-diferenciais com exemplos dos diferentes índices existentes está disponível em: EADs.

Q5.11. Describe what is meant by model stability and how is it assessed? What does this tell you about the underlying behaviour of the model of the system? (Section 5.12)

Um sistema é considerado estável se para todo sinal de amplitude limitada aplicado em sua entrada, o sinal de saída também é limitado. Diferente de um sistema instável, que aplicando um sinal de amplitude limitada em sua entrada, sua saída diverge com o passar do tempo, ou seja, a amplitude do sinal de saída tende a crescer indefinidamente. A análise de estabilidade do sistema de equações diferenciais associado ao modelo é feita através da avaliação dos autovalores associados à matriz Jacobiana. A estabilidade indica como os erros se propagam enquanto o problema é resolvido. Se os autovalores são menores ou iguais a zero, o modelo é dito estável, se algum dos autovalores é maior que zero, o modelo é dito instável, e se forem menores ou iguais a zero e ainda algum deles for ou muito pequeno ou muito grande, o sistema é dito ultra-estável.  

Stationary and Dynamic Flowsheeting in the Chemical Engineering Industry

Q1.5. Explain the fundamental differences between stochastic, empirical and mechanistic models. What are some of the factors which make it easier or harder to develop such models?

Modelos mecanísticos são também referidos como fenomenológicos devido à sua derivação básica a partir dos fenômenos ou mecanismos do sistema como as transferências de massa, calor e movimento. A maioria dos modelos mecanísticos também contém partes empíricas como as expressões de taxa ou relações de transferência de calor. Eles podem ser denominados modelos “Caixa Branca” desde que os mecanismos sejam evidentes na descrição do modelo. 

Os modelos empíricos são baseados em dados de entrada-saída, experimentos e observação. Empregam essencialmente ajuste de equação onde os parâmetros têm pouco ou nenhum significado físico. Modelos empíricos são muito usados onde os fenômenos subjacentes reais não são conhecidos ou mal entendidos. Estes modelos são muitas vezes denominados “Caixa preta”, refletindo o fato que pouco se sabe a respeito dos mecanismos reais do processo.

A forma mais comum de modelo usado nos processos de engenharia é uma combinação das partes mecanísticas e empíricas e por isso é denominado “caixa cinza”. 

Os modelos estocásticos surgem quando a descrição pode conter elementos que têm variações randômicas naturais tipicamente descritas por distribuições de probabilidade. Esta característica é muitas vezes associada com fenômenos que não são descritos em termos de causa e efeito mais por probabilidades.

Q1.6. What are some of the advantages and disadvantages in developing and using empirical versus mechanistic models for process applications? (Section 1.3.1)

Os modelos empíricos não podem ser generalizados. Eles são válidos para um conjunto de condições específicas. Se houver alguma mudança nos processos, tais modelos podem não ser mais aplicados para descrevê-los. Os modelos mecanísticos já podem ser generalizados, contudo, ainda é um obstáculo o desenvolvimento de modelos puramente fenomenológicos.

Capítulo 2:

Q2.3. Discuss why modelling assumptions are important in the building of a model. (Section 2.2)

As hipóteses na modelagem são importantes para descrever o conhecimento específico que se tem sobre o processo. Este conhecimento pode ajudar a simplificar e eliminar aspectos considerados desnecessários para a descrição do modelo. Devido à menor complexidade da natureza do modelo, o número de variáveis é bem menor em dimensão que a dimensão do sistema real. 

Q2.4. What is the difference between white, black- and grey-box models? (Section 2.2)

Modelo caixa branca: é o tipo de modelo totalmente transparente ou entendível a partir dos conhecimentos da engenharia do processo. Para determiná-lo, usam-se dados medidos indiretamente, através da forma e dos valores dos parâmetros do sistema.

Modelo caixa preta: modelos obtidos a partir de dados medidos de entradas e saídas, ou seja, a partir do estímulo ou excitação do sistema. Pode-se usar neste caso, métodos de estimação de parâmetros e estruturas desenvolvidos principalmente no campo da identificação de processos. Estes modelos são usados quando o conhecimento do processo é disponível somente por dados medidos.

Modelo caixa cinza: é uma combinação dos modelos fenomenológicos e empíricos, pois tais modelos são obtidos a partir do conhecimento da engenharia do processo para determinar a estrutura e alguns dos valores dos parâmetros e dados medidos.  

Q2.7. In defining the modelling problem, what basic decisions need to be made before any mathematical modelling starts? (Section 2.3)

Definição do processo, objetivo da modelagem e critério de validação.

Q2.10. Discuss some general approaches to model validation. (Section 2.3)

Há várias possibilidades para validar o modelo do processo como: verificar experimentalmente as suposições simplificadoras, comparar o comportamento do modelo com o comportamento do processo, desenvolver modelos analíticos para casos simplificados e comparar o comportamento, comparar com outros modelos usando um problema comum e comparar o modelo diretamente com dados do processo. As ferramentas para ajudar a resolver estas questões incluem o uso de estudos de sensibilidade para identificar as entradas principais de controle ou parâmetros do sistema e o uso de testes de validação estatística. Neste caso, há os testes de hipóteses e o uso de várias medidas como médias, variâncias, máximo, mínimo e correlações.

Se o resultado da validação apresentar que o modelo desenvolvido não é adequado para o objetivo da modelagem, devem-se identificar novamente os fatores de controle e prosseguir no desenvolvimento do modelo. Geralmente os resultados da validação indicam como melhorar o modelo. Podem-se identificar as partes inadequadas do desenvolvimento de tal modelo e não perder todo o esforço da modelagem.

Capítulo 3:

Q3.1. Describe the difference between open, closed and isolated systems. What are process engineering examples of these systems? (Section 3.1)

Nos sistemas abertos pode ocorrer transferência de massa e energia através do espaço de interesse. Ex: reatores de fluxo contínuo, sistemas de separação líquido-gás.

Em sistemas fechados pode ocorrer transferência de energia, mas não de massa. Ex: reator batelada com controle de temperatura.

Em sistemas isolados não há transferência de energia nem de massa. Ex: Uma tentativa de se criar um sistema isolado é a garrafa térmica, no entanto, o isolamento não chega a ser perfeito. Eles não são comuns na indústria.

Q3.5. What role does the conservation principle play in modelling. In what two fundamental forms does the principle appear? Discuss the reasons that lead to these forms. (Section 3.2)

Através do princípio da conservação as equações de balanço de massa, energia e quantidade de movimento são desenvolvidas. Este princípio pode se apresentar de duas formas: integral, considerando a quantidade extensiva total como a integral ou somatório dos volumes específicos em todo o volume; e na forma diferencial, pois como o volume torna-se infinitesimalmente pequeno no limite, esta forma pode ser aplicada após o uso do teorema da divergência de Gauss para a superfície integral para convertê-la em um volume integral.

Q3.6. What are the principal terms that can appear within the conservation balance equation? What form do these terms take and how are they related to the physics and chemistry of the application? (Section 3.2)

Os principais termos que aparecem na equação do balanço de conservação são os de transporte ou fluxo (convectivo, difusivo) e os termos de fontes (reações químicas, dissipação de energia, energia gravitacional, elétrica, etc.).

Estes termos podem ser apresentados na forma diferencial (EDOs de 1ª e 2ª ordens, EDPs) ou na forma algébrica (lineares, não lineares).

Capítulo 4:

Q4.1. Describe the need for constitutive equations in process modelling. (Section 4.0)

As relações constitutivas são geralmente equações algébricas de origens diversas. As relações de termodinâmica, cinética, e controle são adicionadas nos balanços de conservação como equações constitutivas. Isto ocorre porque quando se escrevem os balanços de conservação para massa, energia e movimento, há termos nas equações que requerem definições ou cálculos. Há cinco classes descritas por relações constitutivas em um modelo: taxas de transferência, expressões de taxas de reações, relações de propriedades, relações de volume do balanço e restrições de controle e equipamentos.

Em análise estrutural, relações constitutivas conectam forças aplicadas para tensões ou deformações. A relação de constitutiva para materiais lineares é linear, e comumente é conhecida como lei do Hooke. Em física, geralmente uma equação constitutiva é uma relação entre duas quantidades físicas (freqüentemente descrita por tensores) que é específica para um material ou substância, e não segue diretamente da lei física. É combinada com outras equações que representam leis físicas para resolver problemas físicos, como o fluxo de um fluido em uma tubulação, ou a resposta de um cristal a um campo elétrico.

A primeira equação constitutiva (lei constitutiva) foi descoberta por Robert Hooke e é conhecida como lei do Hooke. Ela Lida com o caso de materiais elásticos lineares. O conceito de “lei constitutiva” foi introduzido na tese de doutorado de Walter Noll em 1954.

Algumas equações constitutivas são simplesmente fenomenológicas, outras são derivadas dos primeiros princípios. Uma equação constitutiva freqüentemente tem um parâmetro que é uma constante de proporcionalidade em sistemas ideais (Disponível em < http://en.wikipedia.org/wiki/Constitutive_equations >).

Artigos referentes à Modelagem e Otimização de Processos:

Gerais:

Dynamic modeling and control of supply chain systems: A review.   

Equation-based models of dynamic biological systems

Nos próximos dias estarei postando mais artigos. Hoje fiz apenas um teste dos links. Até breve!